La astronomía no es magia, es ciencia. Como en toda ciencia, hay predicciones que podemos hacer sobre el papel, podemos explicar los fenómenos conocidos y calcular fenómenos que sucederán en el futuro. La Luna, por ejemplo, no está en el cielo cada noche en una posición al azar. Podemos calcular la posición de la Luna, de las estrellas, los cometas, los planetas y sus satélites en cualquier momento del pasado, en el presente y en el futuro, lo mismo que los eclipses, la salida o la puesta de Sol, el comienzo de las estaciones...
En esta sección pondremos algunos algoritmos matemáticos relacionados con la astronomía y unos formularios para realizar los cálculos con un solo click de ratón.
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El día juliano es una forma de numerar los días en astronomía, por convenio se toma como primer día juliano el que correspondió al uno de enero del año 4712 antes de Cristo a las doce del mediodía. Se comienza a contar desde el mediodía para evitar cambios de día Juliano a lo largo de la noche (que es cuando se suelen realizar las observaciones astronómicas).
La necesidad de utilizar días julianos se debe a que en astronomía muchas veces hay que realizar cálculos relacionados con fechas (restar dos fechas por ejemplo) y con nuestro calendario habitual de meses y días es un poco complicado.
Ver algoritmo
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· Por sencillez vamos a considerar que tenemos una fecha dada en años(A), meses(M) y días(D). Horas, minutos y segundos los tendremos en cuenta como fracciones de día.
En el algoritmo podremos tener en cuenta si la fecha proporcionada está considerada como del calendario Gregoriano o como del antiguo calendario Juliano.
• Paso 1:
Si M = 1 ó M = 2 reemplazaremos A por A - 1 y M por M + 12
• Paso 2:
Si la fecha nos la han dado en calendario Gregoriano calcularemos los siguientes parámetros:
A = int( A / 100)
B = 2 - A + int( A / 4)
Donde int() significa la parte entera de lo que haya dentro del paréntesis.
• Paso 3:
Si la fecha nos la han dado en calendario Juliano:
B = 0
• Paso 4:
El día Juliano que buscamos será por tanto:
JD = int(365.25 · (A + 4716)) + int(30.6001·(M + 1)) + D + B - 1524.5
• Paso 5:
El día juliano modificado JDM no es más que el Día Juliano - 2400000.5
(En la implementación que hemos hecho más abajo consideraremos siempre que los datos se han proporcionado en el formato de calendario Gregoriano).
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La fecha de un día Juliano |
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Este algoritmo es el inverso al anterior, es decir, el objetivo es hayar la fecha correspondiente a un día juliano dado.
Gracias a Carlos Quevedo, que dió con un error en uno de los pasos del algoritmo. Sin su implementación en Pascal y su tesón este error seguiría aquí, haciendo inútil toda la descripción.
Ver algoritmo
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· Si nos dan un día Juliano, los pasos para encontrar la fecha a la que hace referencia son los siguientes.
• Paso 1:
Sumamos 0.5 al día Juliano que nos han dado y nos quedamos por un lado con la parte entera de este resultado (Z) y con la parte decimal (F).
• Paso 2:
· Si Z < 2299161 tomaremos A = Z
· Si Z es mayor o igual que 2299161 tomaremos:
A = Z + 1 + ß - int(ß/4)
donde ß = int[(Z - 1867216.25) / 36524.25]
• Paso 3:
Calculamos los siguientes parámetros:
B = A + 1524
C = int[(B - 122.1)/365.25]
D = int(365.25·C)
E = int[(B - D)/30.6001]
• Paso 4:
El día del mes buscado, con decimales, será:
DÍA = B - D - int(30.6001 · E) + F
• Paso 5:
El número del més que buscamos es:
· Si E < 14: MES = E - 1
· Si E = 14 ó E = 15: MES = E - 13
• Paso 6:
El año que buscamos es:
· Si el mes encontrado en el paso anterior es igual a uno o igual a dos: AÑO = C - 4715
· Si el mes encontrado en el paso anterior es mayor que 2: AÑO = C - 4716
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La Tierra no gira de forma totalmente uniforme. Estas irregularidades en el giro pueden ser medidas con relojes atómicos, que marcan un tiempo uniforme y preciso llamada Tiempo Dinámico (TD). El tiempo dinámico difiere del Tiempo Universal TU (la hora civil en Greenwich) en una cantidad que llamamos Delta-T ( T).
T = TD - UT
Delta-T es una cantidad pequeña, del orden de un minuto más o menos en la actualidad, pero un minuto es importante para el cálculo de posiciones de estrellas, planetas, cometas, etc, así que es un tiempo que en muchos cálculos astronómicos hemos de tener en cuenta.
Su cálculo es completamente empírico, basado en observaciones del desvío de la rotación de la Tierra, así que se calcula extrapolando expresiones matemáticas que se ajustan a datos medidos con anterioridad.
Utilizaremos varias expresiones polinomiales (dependiendo del año en el que queramos calcular T). En concreto utilizaremos las recomendadas por la siguiente página de la NASA -expresiones polinomiales para Delta-T-, que permiten estimar T entre los años -1999 y +3000. A nuestros polinomios les pasaremos simplemente el año y el mes.
Ver algoritmo
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· Para el cálculo de Delta-T en un momento dado necesitaremos tan solo el mes y el año.
Los resultados obtenidos de Delta-T se miden en segundos.
• Paso 1:
Definiremos el año decimal de la siguiente manera:
y = año + (mes - 0.5)/12
• Paso 2:
Calcularemos Delta-T aplicando los siguientes polinomios, en función del año en el que queramos realizar la estimación:
· Antes del año -500:
T = -20 + 32 · u2
donde: u = (año - 1820)/100
· Entre los años -500 y +500:
T = 10583.6 - 1014.41 · u + 33.78311 · u2 - 5.952053 · u3 - 0.1798452 · u4 + 0.022174192 · u5 + 0.0090316521 · u6
donde: u = y/100
· Entre los años +500 y +1600:
T = 1574.2 - 556.01 · u + 71.23472 · u2 + 0.319781 · u3 - 0.8503463 · u4 - 0.005050998 · u5 + 0.0083572073 · u6
donde: u = (y - 1000)/100
· Entre los años +1600 y +1700:
T = 120 - 0.9808 · u - 0.01532 · u2 + u3/7129
donde: u = y - 1600
· Entre los años +1700 y +1800:
T = 8.83 + 0.1603 · u - 0.0059285 · u2 + 0.00013336 · u3 - u4/1174000
donde: u = y - 1700
· Entre los años +1800 y +1860:
T = 13.72 - 0.332447 · u + 0.0068612 · u2 + 0.0041116 · u3 - 0.00037436 · u4 + 0.0000121272 · u5 - 0.0000001699 · u6 + 0.000000000875 · u7
donde: u = y - 1800
· Entre los años +1860 y +1900:
T = 7.62 + 0.5737 · u - 0.251754 · u2 + 0.01680668 · u3 - 0.0004473624 · u4 + u5/233174
donde: u = y - 1860
· Entre los años +1900 y +1920:
T = -2.79 + 1.494119 · u - 0.0598939 · u2 + 0.0061966 · u3 - 0.000197 · u4
donde: u = y - 1900
· Entre los años +1920 y +1941:
T = 21.20 + 0.84493 · u - 0.076100 · u2 + 0.0020936 · u3
donde: u = y - 1920
· Entre los años +1941 y 1961:
T = 29.07 + 0.407 · u - u2/233 + u3 / 2547
donde: u = y - 1950
· Entre los años +1961 y +1986:
T = 45.45 + 1.067 · u - u2/260 - u3 / 718
donde: u = y - 1975
· Entre los años +1986 y +2005:
T = 63.86 + 0.3345 · u - 0.060374 · u2 + 0.0017275 · u3 + 0.000651814 · u4 + 0.00002373599 · u5
donde: u = y - 2000
· Entre los años +2005 y +2050:
T = 62.92 + 0.32217 · u + 0.005589 · u2
donde: u = y - 2000
· Entre los años +2050 y +2150:
T = -20 + 32 · [(y - 1820)/100]2 - 0.5628 · (2150 - y)
· Desde el año +2150 al año +3000:
T = -20 + 32 · u2
donde: u = (año - 1820)/100
Los datos en los que nos basamos para el cálculo de estos polinomios se basan en observaciones muy precisas en los tiempos modernos (mediante el uso de relojes atómicos), con datos precisos desde la introducción del telescopio en el siglo XVII (especialmente por los miles de registros de ocultaciones de estrellas por la Luna) y por observaciones no demasiado precisas de tiempos pretéritos (cientos de eclipses, lunares y solares, registrados en los manuscritos de las antiguas civilicaciones Europeras y Chinas). Más detalles en esta página de la NASA.
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Coordenadas ecuatoriales y eclípticas |
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En astronomía existen dos importantes sistemas de coordenadas para ubicar a los astros en el cielo. Existen más sistemas, pero los dos más importantes son el sistema de coordenadas ecuatoriales y el sistema de coordenadas eclípticas. Veamos una breve descripción de cada sistema y cómo pasar de uno a otro.
SISTEMA DE COORDENADAS ECUATORIALES:
El sistema de coordenadas ecuatoriales es el equivalente a la proyección de los meridianos y paralelos terrestres sobre el cielo. Tenemos por tanto un polo norte y un polo sur celestes y el equivalente a la línea del ecuador sobre el cielo. Partiendo de un punto de referencia del ecuador llamado Punto Aries, mediremos ascensiones rectas de los astros sobre el ecuador, y declinaciones hacia los polos.
| ASCENSIÓN RECTA |
DECLINACIÓN |
| La ascensión recta puede darse en grados o más comunmente en horas (0-24h). Crece en sentido Este. El Punto de Aries es las 0h. |
Varía desde los -90° en el Polo Sur Celeste a los +90° en el Polo Norte Celeste. En el ecuador vale 0°.
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SISTEMA DE COORDENADAS ECLÍPTICAS:
El sistema de coordenadas eclípticas es del todo similar al sistema de coordenadas ecuatoriales, tan solo que como horizonte tomaremos la eclíptica (la órbita aparente que traza el Sol entre las estrellas a lo largo del año). Tendremos también un Polo Norte y un Polo Sur Eclípticos.
El plano de la eclíptica está inclinado con respecto al ecuador un ángulo llamado "oblicuidad de la eclíptica". Varía año tras año y veremos un algorítmo para su estimación más adelante. Aproximadamente tiene un valor de 23°.44.
| LONGITUD |
LATITUD |
OBLICUIDAD |
| La longitud eclíptica se da en grados (0-360°). Crece en sentido Este. El punto de Aries es el 0. |
Varía desde los -90° en el Polo Sur Eclíptico a los +90° en el Polo Norte Eclíptico. En la eclíptica vale 0°.
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Varía año tras año.
· Para el equinoccio estándar de 1950 vale: 23°.4457889.
· Para el equinoccio estándar de 2000 vale: 23°.4392911.
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Ver algoritmo
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· Los pasos entre unos sistemas de coordenadas y otros se obtienen mediante trigonometría esférica. Aquí simplemente pondremos los resultados finales.
NOTA: Tengamos en cuenta que para aplicar las ecuaciones siguiente deberemos pasar todos los valores a su equivalente en radianes. El paso de grados a horas en el caso de las ascensiones rectas se hace dividiendo los grados entre 15 (360° son 24h).
Tengamos en cuenta también que muchas calculadoras, al calcular una arcotangente, no tienen en cuenta el cuadrante en el que nos encontramos. Para respetar el cuadrante será mejor utilizar la expresión atan2 que poseen muchas calculadores y lenguajes de programación en vez de la función atan. |
• Paso de coordenadas ecuatoriales a eclípticas:
·  y  serán la ascensión recta y la declinación en el sistema de coordenadas ecuatoriales.
·  y  serán la latitud eclíptica y la longitud eclíptica respectivamente.
·  representará el valor de la oblicuidad de la eclíptica.
El paso directo es:
Así que con calcular el arcoseno y la arcotangente de las expresiones anteriores ya tenemos nuestra latitud y longitud eclípticas.
• Paso de coordenadas eclípticas a ecuatoriales:
· y serán la latitud eclíptica y la longitud eclíptica respectivamente.
· y serán la ascensión recta y la declinación que buscamos en el sistema de coordenadas ecuatoriales.
· representará el valor de la oblicuidad de la eclíptica.
El paso directo es:
Así que con calcular la arcotangente y el arcoseno de las expresiones anteriores ya tenemos nuestra ascensión recta y declinación ecuatoriales.
• Ejemplos numéricos y comprobación:
- Calcular las coordenadas eclípticas de la estrella Vega sabiendo que tiene como coordenadas, en J2000.0, la siguiente Ascensión Recta y Declinación (En J2000.0 la oblicuidad de la eclíptica vale 23° 26m 21''.448):
18h 36' 56.3''
38° 47' 02.5''
Primero: Pasamos las cantidades a radianes:
=18h 36' 56.3''=279.23458333333°=4.8735628646012 radianes
=38° 47' 02.5''=38.784027777778°=0.67690898190716 radianes
= 23° 26m 21''.448=23.439291111111°=0.40909280422233 radianes
Segundo: Aplicamos la fórmula del seno de la latitud
 0.57469840766561-(-0.30605364282427) = 0.88075205048988
· Si hacemos el arcoseno obtenemos la latitud eclíptica, que es:
1.0774478822753 radianes = 61.733216299681° = 61° 43' 59''.579
Tercero: Aplicamos la fórmula de la tangente de la longitud
  0.59364650329989
· Tomando la arcotangente obtenemos la longitud eclíptica, que es:
-1.3034775586787 radianes = 285.3162371977° = 285° 18' 58''.454
Así que el resultado final es:
Latitud eclíptica : 61° 43' 59''.579
Longitud eclíptica: 285° 18' 58''.454 |
· En la página del Instituto Nacional de California tenemos una calculadora online para realizar transformaciones de coordenadas, veremos que nuestros resultados son los mismos. También los programas de astronomía, que los hay y muchos, suelen poseer este tipo de utilidades.
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Posición y distancia de la Luna |
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El cálculo de la posición exacta de la Luna entraña grandes dificultades y es un tema que se sigue investigando hoy en día. Estrictamente hablando el sistema Tierra, Sol y Luna es una variante del problema de los tres cuerpos y ha de ser resuelto de forma numérica, no puede ser resuelto de forma analítica proporcionando una fórmula. Para un cálculo exacto de la posición lunar hay que utilizar aproximaciones que implican cientos de términos periódicos, es un trabajo que se sale del ámbito de esta web.
Mostraremos un método que nos proporcionará un error de no más de 10" de arco en el cálculo de la longitud y unos 4" en el cálculo de la latitud del centro de la Luna para un observador que estuviese ubicado en el centro de la Tierra. Este método tiene en cuenta los términos más importantes entre los que incluye la variación de la excentricidad de la órbita terrestre con el tiempo, el achatamiento de la Tierra e incluso la influencia gravitatoria de Júpiter y Venus.
Ver algoritmo
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· Para un instante dado calcularemos la posición de la Luna, su distancia y el paralaje horizontal ecuatorial. Calcularemos la posición tanto real como la aparente. La distancia está medida desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna.
• Paso 1:
· Para la fecha y hora indicada obtendremos el Día Juliano de Efemérides (JDE(*)). Llamaremos entonces T a la diferencia en siglos de esta fecha con J2000.0:
T = (JDE - 2451545)/36525
• Paso 2:
· Calcularemos los siguientes ángulos L', D, M, M', F, A1, A2 y A3 por medio de las siguientes expresiones y reduciéndolos a su ángulo equivalente de 0 a 360° para evitar trabajar con grandes números.
L' = 218.3164591  481267.88134236·T - 0.0013268·T2 T3/538841 - T4/65194000
D = 297.8502042 445267.1115168·T - 0.00163·T2 T3/545868 - T4/113065000
M = 357.5291092 35999.0502909·T - 0.0001536·T2 T3/24490000
M' = 134.9634114 477198.8676313·T 0.008997·T2 T3/69699 - T4/14712000
F = 93.2720993 483202.0175273·T - 0.0034029·T2 - T3/3526000 T4/863310000
A1 = 119.75 131.849·T
A2 = 53.09 479264.29·T
A3 = 313.45 481266.484·T
• Paso 3:
· Calculamos  l, r y b conforme a las siguientes tablas.
La forma de calcular estas sumas es la siguiente, por ejemplo los primeros 4 términos para l, r y b serán:
l = 6288774·sin(M') 1274027·sin(2D - M') 658314·sin(2D) 213618·sin(2M') ...
r = -20905355·cos(M') - 3699111·cos(2D - M') - 2955968·cos(2D) - 569925·cos(2M') ...
b = 5128122·sin(F) 280602·sin(M' F) 277693·sin(M' - F) 173237·sin(2D - F) ...
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Términos periódicos para la longitud (l) y distancia (r) de la Luna. Las unidades son 0.000001 grados para la longitud y 0.001 Km para la distancia. |
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Términos periódicos para la latitud (b) de la Luna. Las unidades son 0.000001 grados.
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Argumento
(combinación de estos factores) |
l
coeficiente para el seno del argumento |
r
coeficiente para el coseno del argumento |
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D |
M |
M' |
F |
Coef.Sin |
Coef.Cos |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
6288774 |
-20905355 |
|
2 |
0 |
-1 |
0 |
1274027 |
-3699111 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
658314 |
-2955968 |
|
0 |
0 |
2 |
0 |
213618 |
-569925 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
-185116 |
48888 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
-114332 |
-3149 |
|
2 |
0 |
-2 |
0 |
58793 |
246158 |
|
2 |
-1 |
-1 |
0 |
57066 |
-152138 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
53322 |
-170733 |
|
2 |
-1 |
0 |
0 |
45758 |
-204586 |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
-40923 |
-129620 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
-34720 |
108743 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
-30383 |
104755 |
|
2 |
0 |
0 |
-2 |
15327 |
10321 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
-12528 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
-2 |
10980 |
79661 |
|
4 |
0 |
-1 |
0 |
10675 |
-34782 |
|
0 |
0 |
3 |
0 |
10034 |
-23210 |
|
4 |
0 |
-2 |
0 |
8548 |
-21636 |
|
2 |
1 |
-1 |
0 |
-7888 |
24208 |
|
2 |
1 |
0 |
0 |
-6766 |
30824 |
|
1 |
0 |
-1 |
0 |
-5163 |
-8379 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
4987 |
-16675 |
|
2 |
-1 |
1 |
0 |
4036 |
-12831 |
|
2 |
0 |
2 |
0 |
3994 |
-10445 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
3861 |
-11650 |
|
2 |
0 |
-3 |
0 |
3665 |
14403 |
|
0 |
1 |
-2 |
0 |
-2689 |
-7003 |
|
2 |
0 |
-1 |
2 |
-2602 |
0 |
|
2 |
-1 |
-2 |
0 |
2390 |
10056 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
-2348 |
6322 |
|
2 |
-2 |
0 |
0 |
2236 |
-9884 |
|
0 |
1 |
2 |
0 |
-2120 |
5751 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
-2069 |
0 |
|
2 |
-2 |
-1 |
0 |
2048 |
-4950 |
|
2 |
0 |
1 |
-2 |
-1773 |
4130 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
-1595 |
0 |
|
4 |
-1 |
-1 |
0 |
1215 |
-3958 |
|
0 |
0 |
2 |
2 |
-1110 |
0 |
|
3 |
0 |
-1 |
0 |
-892 |
3258 |
|
2 |
1 |
1 |
0 |
-810 |
2616 |
|
4 |
-1 |
-2 |
0 |
759 |
-1897 |
|
0 |
2 |
-1 |
0 |
-713 |
-2117 |
|
2 |
2 |
-1 |
0 |
-700 |
2354 |
|
2 |
1 |
-2 |
0 |
691 |
0 |
|
2 |
-1 |
0 |
-2 |
596 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
549 |
-1423 |
|
0 |
0 |
4 |
0 |
537 |
-1117 |
|
4 |
-1 |
0 |
0 |
520 |
-1571 |
|
1 |
0 |
-2 |
0 |
-487 |
-1739 |
|
2 |
1 |
0 |
-2 |
-399 |
0 |
|
0 |
0 |
2 |
-2 |
-381 |
-4421 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
351 |
0 |
|
3 |
0 |
-2 |
0 |
-340 |
0 |
|
4 |
0 |
-3 |
0 |
330 |
0 |
|
2 |
-1 |
2 |
0 |
327 |
0 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
-323 |
1165 |
|
1 |
1 |
-1 |
0 |
299 |
0 |
|
2 |
0 |
3 |
0 |
294 |
0 |
|
2 |
0 |
-1 |
-2 |
0 |
8752 |
|
Argumento
(combinación de estos factores) |
b
coeficiente para el seno del argumento |
|
D |
M |
M' |
F |
Coef.Sin |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
5128122 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
280602 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
277693 |
|
2 |
0 |
0 |
-1 |
173237 |
|
2 |
0 |
-1 |
1 |
55413 |
|
2 |
0 |
-1 |
-1 |
46271 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
32573 |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
17198 |
|
2 |
0 |
1 |
-1 |
9266 |
|
0 |
0 |
2 |
-1 |
8822 |
|
2 |
-1 |
0 |
-1 |
8216 |
|
2 |
0 |
-2 |
-1 |
4324 |
|
2 |
0 |
1 |
1 |
4200 |
|
2 |
1 |
0 |
-1 |
-3359 |
|
2 |
-1 |
-1 |
1 |
2463 |
|
2 |
-1 |
0 |
1 |
2211 |
|
2 |
-1 |
-1 |
-1 |
2065 |
|
0 |
1 |
-1 |
-1 |
-1870 |
|
4 |
0 |
-1 |
-1 |
1828 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
-1794 |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
-1749 |
|
0 |
1 |
-1 |
1 |
-1565 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
-1491 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
-1475 |
|
0 |
1 |
1 |
-1 |
-1410 |
|
0 |
1 |
0 |
-1 |
-1344 |
|
1 |
0 |
0 |
-1 |
-1335 |
|
0 |
0 |
3 |
1 |
1107 |
|
4 |
0 |
0 |
-1 |
1021 |
|
4 |
0 |
-1 |
1 |
833 |
|
0 |
0 |
1 |
-3 |
777 |
|
4 |
0 |
-2 |
1 |
671 |
|
2 |
0 |
0 |
-3 |
607 |
|
2 |
0 |
2 |
-1 |
596 |
|
2 |
-1 |
1 |
-1 |
491 |
|
2 |
0 |
-2 |
1 |
-451 |
|
0 |
0 |
3 |
-1 |
439 |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
422 |
|
2 |
0 |
-3 |
-1 |
421 |
|
2 |
1 |
-1 |
1 |
-366 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
-351 |
|
4 |
0 |
0 |
1 |
331 |
|
2 |
-1 |
1 |
1 |
315 |
|
2 |
-2 |
0 |
-1 |
302 |
|
0 |
0 |
1 |
3 |
-283 |
|
2 |
1 |
1 |
-1 |
-229 |
|
1 |
1 |
0 |
-1 |
223 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
223 |
|
0 |
1 |
-2 |
-1 |
-220 |
|
2 |
1 |
-1 |
-1 |
-220 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
-185 |
|
2 |
-1 |
-2 |
-1 |
181 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
-177 |
|
4 |
0 |
-2 |
-1 |
176 |
|
4 |
-1 |
-1 |
-1 |
166 |
|
1 |
0 |
1 |
-1 |
-164 |
|
4 |
0 |
1 |
-1 |
132 |
|
1 |
0 |
-1 |
-1 |
-119 |
|
4 |
-1 |
0 |
-1 |
115 |
|
2 |
-2 |
0 |
1 |
107 |
|
• Paso 4:
· Sin embargo hemos de tener en cuenta que los argumentos que contienen el ángulo M depen de la excentricidad de la órbita de la Tierra, la cual actualmente decrece con el tiempo. Para tener en cuenta este efecto multiplicaremos los téminos cuyo algumento contenga M ó -M por E, y aquellos que contengan 2M ó -2M por E2, siendo E la excentricidad de la órbita terrestre en función del tiempo (tiempo de efemérides en este caso):
E = 1 - 0.002516·T - 0.0000074·T4
Así que los cuatro primeros téminos de cada serie serán:
l = E·6288774·sin(M') E·1274027·sin(2D - M') 658314·sin(2D) E2 ·213618·sin(2M') ...
r = E·(-20905355)·cos(M') - E·3699111·cos(2D - M') - 2955968·cos(2D) - E2·569925·cos(2M') ...
b = 5128122·sin(F) E·280602·sin(M' F) E·277693·sin(M' - F) 173237·sin(2D - F) ...
• Paso 5:
· Tras obtener l le sumamos la siguiente cantidad:
3958 · sin(A1) 1962 · sin(L' - F) 318 · sin(A2)
· Tras obtener b le sumamos la siguiente cantidad:
-2235·sin(L') 382·sin(A3) 175·sin(A1 - F) 175·sin(A1 F) 127·sin(L' - M') - 115·sin(L' M')
• Paso 6:
· Las coordenadas lunares serán entonces:
Longitud eclíptica: 
Latitud eclíptica:  en grados.
Distancia: 
Paralaje horizontal ecuatorial:  en grados. |
Si queremos la longitud aparente de la Luna sumaremos a  la nutación en longitud(*) ( ).
Y con estos datos ya podemos pasar las coordenadas a cualquier otro sistema, como ecuatoriales, horizontales, etc.
• Ejemplo:
- Calcular la posición y distancia de la Tierra a la Luna en la siguiente fecha: 17 de junio de 2011 a las 17:45 (UTC).
· Con los datos proporcionados obtendremos los siguientes datos a medida que hacemos las operaciones:
JD = 2455730.2395833 (Paso 1)
JDE = 2455730.2403628 (Paso 1)
T = 0.1145856362161 (Paso 1)
L' = 284.70281567297 (Paso 2)
D = 199.06544206063 (Paso 2)
M = 162.50318794162 (Paso 2)
M' = 95.099378688014 (Paso 2)
F = 21.282653890761 (Paso 2)
A1 = 134.85800154946 (Paso 2)
A2 = 249.89358530948 (Paso 2)
A3 = 19.676258627544 (Paso 2)
l = 5422184.2793854 (Paso 4)
b = 2375054.072843 (Paso 4)
r = -2041585.9933831 (Paso 4)
E = 0.99971160537826 (Paso 4)
l = 5422184.2793854 557.95990619766 = 5422742.2392916 (Paso 5)
b = 2375054.072843 2461.4706010546 = 2377515.5434441 (Paso 5)
· La posición real de la Luna, su distancia y su paralaje horizontal ecuatorial son:
Longitud = 290°.13034321001
Latitud  = 2°.3775155434441
Distancia = 382958.97400662 Km
Paralaje horizontal ecuatorial  = 0°.95429908867893
· Esto son las posiciones reales de la Luna, si lo que queremos es la posición aparente, la que veríamos en el cielo nosotros, debemos tener en cuenta la nutación en longitud para esta fecha es
= 0.0047852977469826, así que la longitud aparente será = 290°.13512850776
· Por tanto la posición aparente de la Luna en coordenadas eclípticas tiene el siguiente valor:
Longitud = 290°.13512850776
Latitud = 2°.3775155434441
· Si queremos obtener la Ascensión Recta y Declinación, deberemos tener en cuenta la oblicuidad real de la eclíptica(*) para ese instante, que es:
 = 23°.437357776015, lo que nos lleva a las siguientes coordenadas ecuatoriales:
Ascensión Recta = 19h 25' 35"
Declinación = -19° 34' 44"
(*) Los cálculos de JDE, nutación en longitud () y oblicuidad real de la eclíptica () los veremos en próximos algoritmos.
- Para comparar estos cálculos con datos oficiales puedes acudir a la siguiente dirección:
NASA (Efemérides geocéntricas para la Luna 1995-2006): http://eclipse.gsfc.nasa.gov/TYPE/moonkey.html
- La NASA tiene un conjunto de librerías en lenguaje de programación C con algoritmos astronómicos, el correspondiente a la posición de la Luna y su distancia lo puedes ver aquí (es el mismo método que acabamos de exponer): http://idlastro.gsfc.nasa.gov/ftp/pro/astro/moonpos.pro
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Oblicuidad de la eclíptica |
|
· El eje Norte-Sur de la Tierra no es perpendicular al plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, tiene una cierta inclinación que en nuestros días es de unos 23°.45. Al plano definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol le llamamos plano de la eclíptica y al ángulo de inclinación "oblicuidad de la eclíptica".
· Para muchos cálculos astronómicos es importante conocer la oblicuidad de la eclíptica, ya que una variación en este ángulo implica un desplazamiento de toda la bóveda celeste y por lo tanto es necesario tenerlo en cuenta para el cálculo de las posiciones de estrellas, planetas, etc. El problema es que esta inclinación varía con el paso del tiempo y es lo que vamos a calcular en este algoritmo.
· Como curiosidad, fíjate la próxima vez que veas un globo terráqueo de esos con los que los profesores enseñan geografía a sus alumnos, verás que el eje Norte-Sur está inclinado tal y como decimos aquí.
Ver algoritmo
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· Para calcular la oblicuidad real de la eclíptica en una fecha dada calcularemos primero la oblicuidad media de la eclíptica en esa fecha y añadiremos un término corrector llamado "nutación en oblicuidad", que se produce por una ligera oscilación del eje de la Tierra entorno su posición media a lo largo del tiempo.
• Paso 1:
· Para la fecha y hora indicada obtendremos el Día Juliano de Efemérides (JDE*). Llamaremos entonces T a la diferencia en siglos de esta fecha con J2000.0:
T = (JDE - 2451545)/36525
• Paso 2:
· Obtenemos la oblicuidad media de la eclíptica (ε0) de forma directa con la siguiente expresión, teniendo en cuenta que la fórmula tan sólo es válida en un intervalo de tiempo que abarca desde los 10000 años antes hasta 10000 años después de J2000.0.
· Si tomamos U=T/100
ε0 = 23˚26'21".448 - 4680".93·U - 1.55·U2 + 1999.25·U3 - 51.38·U4 - 249.67·U5 - 39.05·U6 + 7.12·U7 + 27.87·U8 + 5.79·U9 + 2.45·U10
Ahora que tenemos la oblicuidad media de la eclíptica obtendremos el valor de corrección llamado "nutación en oblicuidad" (Δε) en los siguientes pasos 3 y 4.
• Paso 3:
· Calcularemos los siguientes ángulos D, M, M', F, y Ω por medio de las siguientes expresiones y reduciéndolos a su ángulo equivalente de 0 a 360° para evitar trabajar con grandes números.
D = 297.85036 + 445267.111480·T - 0.0019142·T2 + T3/189474
M = 357.52772 + 35999.050340·T - 0.0001603·T2 - T3/300000
M' = 134.96298 + 477198.867398·T + 0.0086972·T2 + T3/56250
F = 93.27191 + 483202.017538·T - 0.0036825·T2 + T3/327270
Ω = 125.04452 - 1934.136261·T + 0.0020708· T2 + T3/450000
• Paso 4:
· Calculamos Δε conforme a la siguiente tabla:
La forma de calcular esta suma es la siguiente, por ejemplo los primeros 4 términos serán:
Δε= cos(Ω) · (92025+8.9·T) + cos(-2D+2F+2Ω) · (5736-3.1·T) + cos(2F+2Ω) · (977-0.5·T) + cos(2Ω) · (-895+0.5·T) + ...
|
Términos periódicos para el cálculo de la nutación en oblicuidad. Las unidades son 0''.0001 |
Argumento
(combinación de estos factores) |
Coeficiente
Coseno |
|
D |
M |
M' |
F |
Ω |
Coef.Cos |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
92025+8.9·T |
|
-2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
5736-3.1·T |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
2 |
977-0.5·T |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
-895+0.5·T |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
54-0.1·T |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
-7 |
|
-2 |
1 |
0 |
2 |
2 |
224-0.6·T |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
200 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
2 |
129-0.1·T |
|
-2 |
-1 |
0 |
2 |
2 |
-95+0.3·T |
|
-2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-2 |
0 |
0 |
2 |
1 |
-70 |
|
0 |
0 |
-1 |
2 |
2 |
-53 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-33 |
|
2 |
0 |
-1 |
2 |
2 |
26 |
|
0 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
32 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
1 |
27 |
|
-2 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
-2 |
2 |
1 |
-24 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
16 |
|
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
13 |
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
-2 |
0 |
1 |
2 |
2 |
-12 |
|
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
-2 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
-1 |
2 |
1 |
-10 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
-8 |
|
-2 |
2 |
0 |
2 |
2 |
7 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
9 |
|
-2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
7 |
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
6 |
|
0 |
0 |
2 |
-2 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
-1 |
2 |
1 |
5 |
|
2 |
0 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
2 |
2 |
-3 |
|
-2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
-1 |
0 |
2 |
2 |
3 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-2 |
0 |
2 |
2 |
2 |
-3 |
|
-2 |
0 |
1 |
2 |
1 |
-3 |
|
2 |
0 |
-2 |
0 |
1 |
3 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-2 |
-1 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
-2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
0 |
0 |
2 |
2 |
1 |
3 |
|
-2 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
|
-2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
0 |
|
-1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
-2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
-2 |
2 |
2 |
0 |
|
-1 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
-1 |
1 |
2 |
2 |
0 |
|
2 |
-1 |
-1 |
2 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
3 |
2 |
2 |
0 |
|
2 |
-1 |
0 |
2 |
2 |
0 |
|
|
La suma de estos términos es la "nutación en oblicuidad" de la eclíptica.
• Paso 5:
· La oblicuidad real de la eclíptica será finalmente:
ε = ε0 + Δε
• Ejemplo:
- Calcular la oblicuidad real de la eclíptica el día 18 de agosto de 2012 a las 19:22 (UTC).
· Con los datos proporcionados obtendremos los siguientes datos a medida que hacemos las operaciones:
JD = 2456158.3069444 (Paso 1)
JDE = 2456158.3077301 (Paso 1)
T = 0.12630548200061 (Paso 1)
D = 56537.527463973 = 17º.527463972765 (Paso 3)
M = 4904.4051221938 = 224º.40512219383º (Paso 3)
M' = 4904.4051221938 = 287º.79607563113° (Paso 3)
F = 61124.335580062 = 284º.3558006191° (Paso 3)
Ω = -119.24745966035 = 240º.75254033965 (Paso 3)
Δε = 23º.437648813988 = 23º26'15".535730356947 (Paso 4)
ε0 = -0º.0011523950979439 = -4".1486223525979 (Paso 2)
ε = 23º.43649641889 = 23º26'11".387108004352 (Paso 5)
Solución: 23º26'11".387
- *Para calcular el día JDE sumaremos al JD el término Delta-T.
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BIBLIOGRAFÍA:
* Astronomical algorithms (ISBN: 0-943396-35-2)
Jean Meeus. Editorial: Richmond, Va. : Willmann-Bell, c1991. |
* Astronomical Formulae for Calculators (ISBN: 0-943396-22-0)
Jean Meeus. Editorial: Richmond, Va. : Willmann-Bell, c1988. |
* Practical astronomy with your calculator (ISBN: 0-521-35699-7)
Peter Duffett-Smith. Editorial: Cambridge University Press, 1998. |
* Curso de astronomía general (ISBN: 978-84-8041-003-8)
Bakulin, Kononovich & Moroz. Editorial: MIR, 1987. |
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