Hay cosas curiosas con respecto a la gravedad que contradicen lo que de buenas a primeras dice nuestra intuición. Por ejemplo: Todos los objetos en caída libre sufren una misma aceleración independientemente de su masa, la fuerza de la gravedad disminuye a medida que profundizamos en la corteza terrestre, una nave espacial en órbita no está a gravedad 0...
La fórmula que describe todo esto, la de la Ley de la Gravitación Universal, es una fórmula muy sencilla pero con grandes implicaciones. Vamos a exprimirla un poco más.
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La Ley de Gravitación Universal |
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► ¿DE QUÉ DEPENDE LA FUERZA DE LA GRAVEDAD?:
Ya hace unos años, en el siglo XVII ni más ni menos, Isaac Newton descubrió que todos los cuerpos del universo se atraen (nos atraemos) los unos a los otros por una fuerza llamada fuerza de la gravedad, y logró describirla con una sencilla fórmula matemática.
La fórmula dice que dos objetos se atraerán con más fuerza cuanta más masa tengan entre los dos (más Kg) y cuanto más cerca estén el uno del otro:
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 = Fuerza de atracción en 
 = Masa del primer cuerpo en Kg
 = Masa del segundo cuerpo en Kg
 = Distancia que separa a los cuerpos en m
 = Constante de gravitación universal  |
Ver ejemplo
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Vemos un ejemplo numérico:
Ejemplo 1:
Calculemos qué ejercerá más fuerza de atracción sobre mí (atracción estrictamente gravitatoria), si el planeta Marte en un acercamiento promedio a la Tierra o Scarlett Johansson a 50cm de distancia.
• Paso 1:
Para solventar el problema baste poner como ejemplo mi masa myo de 80Kg y el consenso general de que Scarlett Johansson pesa 53Kg (mScarlett). A 0,5m de distancia la atracción será:
• Paso 2:
Ahora sólo nos queda buscar la masa de Marte (cosa fácil con Wikipedia), que son 6,4185 × 1023kg. Un acercamiento promedio a la Tierra son unos 78000000000 de metros, así que tenemos:
Por lo que podemos concluir que Scarlett Johansson me atrae unas  veces más que Marte a esas distancias, y eso, es un hecho científico.
(Para que no se me acuse de machismo, y en honor a la verdad, tan solo decir que si el sujeto llamado Scarlett Johansson se sustituyese por otro de equivalente peso y sexo masculino, la atracción gravitatoria, estrictamente hablando, sería la misma).
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La aceleración que provoca la fuerza de la gravedad |
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► LA FAMOSA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD, ¿CÓMO SE CALCULA?:
Ahora hablaremos de Galileo Galilei (1564-1642). Este hombre descubrió que un cuerpo en caída libre posee a una aceleración constante. Isaac Newton, que nació el año en que Galileo murió, descubrió que si ejercemos una fuerza constante sobre un cuerpo produciremos en él una aceleración constante (Segunda Ley de Newton):
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= Fuerza que ejercemos sobre el cuerpo en
= Masa del cuerpo en Kg
= Aceleración producida en  |
La gravedad de la Tierra ejerce sobre nosotros una fuerza constante, por lo que con esta fórmula junto con la de la gravedad podemos calcular la aceleración de los cuerpos al caer libremente en la superficie de la Tierra. Son los famosos  que nos enseñan en el colegio.
Ver cálculo
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· Si en la Segunda Ley de Newton sustituimos la fuerza F por la expresión de la fuerza de la gravedad sobre la superficie de la Tierra, obtendremos la aceleración sobre la superficie de la Tierra:
Si m es la masa de un objeto sobre la superficie terrestre,  es la masa de la Tierra (5.94·1024Kg), y d es la distancia que los separa, es decir, el radio de la Tierra (6371000m), obtendremos la fuerza de la atracción gravitatoria sobre la masa m en la superficie de la Tierra:
Con los datos de la Tierra 
Es interesante observar que al despejar la aceleración ha desaparecido m, eso significa que la aceleración a no depende de la masa del cuerpo que dejemos caer, todos los cuerpos se verán sometidos a la misma aceleración. La aceleración depende de lo que dice la fórmula, de la masa de la Tierra y de su radio. Si los objetos no caen estrictamente con esta aceleración es porque los frena el rozamiento con el aire.
Tú mismo puedes hacer los cálculos para otros planetas, satélites y asteroides (por ejemplo). En internet encontrarás multitud de páginas con datos de planetas y asteroides, tan sólo necesitas conocer sus masas en Kg y su radio en metros. Te daré tres ejemplos más ya hechos:
- En la Luna la aceleración de la gravedad será de 1.62m/s2
- En Marte la aceleración de la gravedad es de 3.71m/s2
- En el Sol la gravedad es enorme, y su aceleración también, 274.06m/s2
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No se puede orbitar a la velocidad y altura que queramos |
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► ¿POR QUÉ UN SATÉLITE ORBITA Y NO CAE AL SUELO?:
En un satélite en órbita hay dos fuerzas compitiendo, la fuerza de la gravedad que lo empuja hacia el suelo y la fuerza centrífuga que tiende a alejarlo. Cuando estas dos fuerzas se igualan, el satélite está el órbita. Esta igualdad hace que la velocidad y altura de un satélite estén relacionadas, es decir, no podemos tener un satélite orbitando a la velocidad y altura que queramos.
· Si Rp es el radio del planeta, h la altura sobre la superficie del planeta a la que orbita el satélite y ms y Mp las masas del satélite y el planeta respectivamente, podemos demostrar que la velocidad de un satélite en órbita depende de la altura a la que orbite y viceversa, estas son las dos fórmulas que obtendremos:
 
Ver demostración y ejemplos
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· Un satélite estará en órbita cuando la fuerza con la que el planeta le atrae se iguala con la fuerza centrífuga que posee al girar alrededor del planeta. Supondremos que las órbitas son completamente circulares, una buena aproximación en muchos casos.
La fuerza de atracción gravitatoria de un satélite s orbitando un planeta p es:
Donde Rp es el radio del planeta y h la altura sobre la superficie del planeta a la que orbita el satélite y ms y mp las masas del satélite y el planeta respectivamente.
La fuerza centrífuga a la que se ve sometido el mismo satélite en esta órbita depende de la velocidad vs a la que se mueva, de su masa ms y de la distancia al centro del planeta (su radio de giro, que es Rp+h):
Igualando las expresiones y despejando la velocidad del satélite en función de la altura a la que orbita y despejando la altura h, obtenemos las siguientes expresiones:
Veamos unos ejemplos con datos numéricos reales:
Ejemplo 1:
Sabemos que la Luna orbita a unos 376.291Km de altura sobre la superficie terrestre, que el radio de la Tierra es de 6.371Km y la masa de la Tierra 5,97·1024Kg. Vamos a calcular la velocidad a la que se mueve la Luna alrededor de la Tierra:
· Aplicamos directamente la fórmula de la velocidad en función de la altura:
· Otra forma de calcular la velocidad es dividir la longitud de su órbita entre el tiempo que tarda en hacerlo. Tomemos la misma distancia que antes (desde el centro de la Luna al centro de la Tierra), supondremos una órbita circular y sabiendo que la Luna tarda 27 días, 7 horas y 43,7 minutos en dar una vuelta alrrededor del planeta (2.360.622 segundos), la velocidad es:
Distancia recorrida en una vuelta  , dividida entre el tiempo 2.360.622s, lo que da una velocidad de 1023,14m/s
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Así que a penas hay un 0.2% de diferencia entre calcular la velocidad de esta forma o de la anterior. |
Ejemplo 2:
Un satélite geoestacionario es aquel que no se mueve con respecto a la superficie terrestre, es decir gira exactamente a la velocidad que gira la Tierra, junto con ella. ¿A qué altura hemos de ubicar un satélite sobre la superficie de la Tierra para que sea geoestacionario?:
· Así que un satélite geoestacionario (a una altura h sobre la superficie terrestre que todavía no conocemos) tendrá una velocidad Vs, donde  es el radio de la Tierra y T es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa (86.400 segundos).
También sabemos que la velocidad ha de ser  , así que las igualamos y despejamos la altura h que será:
 
redondeando eso son unos 35.873Km de altura.
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En wikipedia, por ejemplo, se dice que la órbita de un satélite geoestacionario se encuentra a 35.786Km, lo que implica que nuestros cálculos tienen un error de 87Km sobre 35.786Km, es decir, nuestro error ha sido menor del 0,5%. |
En internet tienes un montón de información disponible. Puedes calcular a qué altura de Marte tendría que situar la NASA un satélite si quiere estar siempre sobre el mismo punto del planeta, o cuántas vueltas da al día la estación Estación Espacial Internacional alrrededor de la Tierra sabiendo que orbita a unos 400Km de altura, o estimar las distancias a las que están Deimos y Fobos de Marte conociendo sus periodos... puedes hacer un montón de cálculos y compararlos con diversas fuentes... ¡verás que las fórmulas funcionan!.
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| A qué velocidad podremos escapar por completo de la gravedad terrestre |
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► ¿A QUÉ VELOCIDAD HEMOS DE LANZAR UN OBJETO PARA QUE SE ALEJE PARA SIEMPRE DE LA TIERRA?
Si lanzamos una piedra hacia arriba esta volverá a caer al suelo. Si lanzamos la piedra con más velocidad esta vez se elevará más alto y tardará más en caer. Si lanzamos la piedra con suficiente velocidad, entrará en órbita alrededor de la Tierra. Pero hay una velocidad a la cual, si lanzamos la piedra, esta se alejará para siempre de la Tierra. A esta velocidad la llamamos velocidad de escape.
La velocidad de escape depende tan sólo de la masa y el radio del planeta:
Ver demostración y ejemplos
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· Vamos a utilizar la ley de la conservación de la energía. El objeto inicialmente tendrá una energía potencial con respecto al centro de la Tierra y una energía cinética que es la que hemos de calcular. Al final, para llegar a una distancia infinita de la Tierra con velocidad cero (la velocidad mínima para alejarnos para siempre de la Tierra), la energía potencial es cero también.
La energía potencial de un objeto sobre la superficie de un planeta, asteroide, cometa, etc, es:
y la energía cinética inicial cuando lanzamos el objeto es:
Donde:
- Mp es la masa del planeta
- m es la masa del objeto
- r es la distancia del objeto al centro del planeta (el radio del planeta inicialmente)
- G es la constante de gravitación universal
- v es la velocidad inicial con la que lanzamos el objeto
La energía total será la suma de las dos expresiones anteriores y en el infinito ambas serán cero, así que como la energía inicial es igual a la energía final:
y despejando obtenemos la velocidad mínima a la que tendremos que lanzar un objeto para que se aleje indefinidamente de la atracción gravitatoria del planeta, que es la velocidad de escape ve, y r será el radio del planeta Rp
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Como vemos, la velocidad de escape no depende de las características del cuerpo que lancemos sino de las del planeta.
Veamos unos ejemplos con datos numéricos reales:
Ejemplo 1:
Simplemente mirando en wikipedia sabemos que la masa de la Tierra es 5.9736·1024Kg, y su radio 6371·103m. Si apuntamos hacia las estrellas con un fusil de francotirador, cuya bala puede salir del cañón a 3180Km/h, ¿podría la bala llegar a salir de la influencia de la gravedad terrestre y perderse en los confines del Universo?.
La única fórmula que necesitaremos es la de la velocidad de escape aplicada al planeta Tierra, que es esta:
Así que sustituimos directamente los valores:
lo que nos da: 11187.09m/s
es decir, una velocidad de escape para la Tierra de algo más de 11Km/s
Nuestra bala de 3180Km/h tiene una velocidad de 883m/s, ó 0.883Km/s si lo preferimos así. Tendría que salir del cañón del arma unas 12.5 veces más rápido, y en ese caso tendríamos que tener en cuenta otras fuerzas, como el rozamiento de la atmósfera.
Así que no, nuestra bala no puede llegar a las estrellas, al menos no de esta forma.
Ejemplo 2:
¿Cual debería ser el tamaño de un planeta con la misma densidad que la Tierra para que la velocidad de la bala de nuestro ejemplo anterior sí que fuese la velocidad de escape?.
La velocidad de escape de un planeta es:
En este caso queremos que en la fórmula no aparezca la masa Mp, y eso podemos hacerlo escribiéndola en función de la densidad  :
Y el volumen, como estamos hablando de una esfera, vale:
por tanto, despejando Mp obtenemos:
Y sustituimos en el interior de la fórmula de la velocidad de escape la masa por la expresión anterior:
Donde además podemos sacar el radio fuera de la raiz:
y despejar el radio, que es lo que buscábamos:
para nuestro problema sabemos ve = 883m/s, y podemos calcular la densidad
por tanto:
es decir, el planeta debería tener unos 503Km de radio, unos 1006Km de diámetro. Si fuese más grande la bala no podría escapar de forma definitiva del planeta.
El siguiente es un dibujo a escala con las velocidades de escape para el planeta Tierra, la Luna y el planeta cuyas dimensiones hemos calculado.
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